Основание логарифма под знаком модуля

Простейшие логарифмические уравнения

основание логарифма под знаком модуля

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы основанием и с модулем в выражении, стоящем под знаком логарифма. Степень, логарифм, арифметический корень содержащие переменную величину или выражение под знаком модуля · Решение неравенств, . Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, обозначаемое logab. Основание логарифма может быть только положительным и не равным те из последних перечисленных свойств, в которых появляется знак модуля.

Ключевых моментов в сегодняшнем видеоуроке два: Переход к канонической форме мы выполняли в самом конце преобразования формулы логарифмического уравнения. Но при таких b — любых, которые удовлетворяют данное требование — данный переход может быть выполнен, и у нас получится каноническая форма, в которой можно избавиться от знака логарифма. Расширение области определения и лишние корни В процессе преобразования логарифмических уравнений может произойти неявное расширение области определения.

Зачастую ученики этого даже не замечают, что приводит к ошибкам и неправильным ответам. Начнем с простейших конструкций. Простейшим логарифмическим уравнением называется следующее: Как мы решаем такие уравнения? Именно к ней следует сводить любое логарифмическое уравнение, которое вы встретите не только в сегодняшнем уроке, но и в любой самостоятельной и контрольной работе.

Как прийти к канонической форме, какие приемы использовать — это уже вопрос практики. Потому что следующим шагом будет запись: К чему весь этот разговор? Дело в том, что каноническая форма применима не только к простейшим задачам, но и к любым другим. В частности и к тем, которые мы будем решать. В чем проблема данного уравнения?

Логарифм: теоретический справочник

В том, что функция стоит сразу в двух логарифмах. Задачу можно свести к простейшей, просто вычтя один логарифм из другого. Но возникают проблемы с областью определения: Поэтому давайте просто перенесем один из логарифмов вправо: Вот такая запись уже гораздо больше похожа на каноническую форму. Но есть еще один нюанс: Знаит, нужно привести эти основания к одному и тому же числу.

Например, вспомним, что такое отрицательные степени: Давайте внесем этот множитель в аргумент, превратив его в степень: Разумеется, получив каноническую форму, мы смело зачеркиваем знак логарифма и приравниваем аргументы.

Сложные логарифмические неравенства

Воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее крест-накрест: За такое решение мы получим 0 баллов, потому что в исходном уравнении присутствуют сразу два логарифма с переменной x. Поэтому требуется учесть область определения.

основание логарифма под знаком модуля

И здесь начинается самое веселое. Разумеется, все аргументы у нас их два должны быть больше нуля: Поэтому давайте еще раз пройдемся по нашему решению и посмотрим: Другими словами, нужно четно понимать, когда именно возникают лишние корни. Изначально у нас было два логарифма. Потом мы перенесли один из них вправо, но на область определения это не повлияло. Затем мы выносим степень из основания, но логарифмов все равно остается два, и в каждом из них присутствует переменная x.

Наконец, мы зачеркиваем знаки log и получаем классическое дробно-рациональное уравнение.

основание логарифма под знаком модуля

Именно на последнем шаге происходит расширение области определения! Как только мы перешли к дробно-рациональному уравнению, избавившись от знаков log, требования к переменной xрезко поменялись! Следовательно, область определения можно считать не в самом начале решения, а только на упомянутом шаге — перед непосредственным приравниваем аргументов. Здесь-то и кроется возможность для оптимизации. С одной стороны, от нас требуется, чтобы оба аргумента были больше нуля. С другой — далее мы приравниваем эти аргументы.

Следовательно, если хотя бы один и них будет положителен, то и второй тоже окажется положительным! Вот и получается, что требовать выполнение сразу двух неравенств — это излишество. Достаточно рассмотреть лишь одну из этих дробей. Например, давайте разберемся с правой дробью: Возьмем число, заведомо большее всех наших корней. И подставляем его дробь. Затем знаки чередуются, потому что корней четной кратности нигде.

основание логарифма под знаком модуля

Нас интересуют интервалы, где функция положительна. Теперь вспоминаем про ответы: Строго говоря, это еще не ответы, а лишь кандидаты на ответ.

Какой из них принадлежит указанному множеству? Вот теперь мы получили грамотное, обоснованное решение с учетом области определения. Переходим ко второму уравнению: Другими словами, перепишем 0,5 в виде обычной дроби.

основание логарифма под знаком модуля

Сразу замечаем, что логарифм, содержащий это основание, легко считается: Это очень важны момент! Когда у нас и в основании, и в аргументе стоят степени, мы можем вынести показатели этих степеней по формуле: Возвращаемся к нашему исходному логарифмическому уравнению и переписываем его: Давайте представим единицу как логарифм по основанию 5: Вот мы и получили каноническую форму! Зачеркиваем знаки logи приравниваем аргументы: Оно легко решается с помощью формул Виета: Но это не окончательные ответы, а лишь кандидаты, потому что логарифмическое уравнение требует еще и проверки области определения.

Это и есть окончательный ответ.

основание логарифма под знаком модуля

Еще раз ключевые мысли сегодняшнего урока: Как только переменная x появляется в нескольких логарифмах, уравнение перестает быть элементарным, и для него придется считать область определения. Иначе можно запросто записать в ответ лишние корни. Работу с самой областью определения можно существенно упростить, если выписывать неравенство не сразу, а ровно в тот момент, когда мы избавляемся от знаков log.

Алгебра 11 класс. Изменения основания логарифма

Так как у логарифмов есть много ограничений на ту область, где они существуют. При решении систем логарифмических уравнений чаще всего приходится использовать либо метод подстановки, либо метод замены переменных. Если есть такая возможность, то при решении систем логарифмических уравнений нужно стремиться к тому, чтобы каждое из уравнений системы по-отдельности привести к такому виду, при котором можно будет осуществить переход от логарифмического уравнения к рациональному.

Сначала, с помощью алгебраических преобразований и свойств логарифмов, их нужно постараться привести к такому виду, где у логарифмов в левой и правой части неравенства будут одинаковые основания, то есть получить неравенство вида: После чего нужно перейти к рациональному неравенству, учитывая, что этот переход должен быть выполнен следующим образом: При этом знаки минус на плюс, в обход ранее изученных правил нигде менять не.

Запишем математически то, что получим в результате выполнения такого перехода. В случае если основание больше единицы получим: В случае если основание логарифма меньше единицы поменяем знак неравенства и получим следующую систему: Как видим при решении логарифмических неравенств как обычно учитывается также и ОДЗ это третье условие в системах выше.

Причем в этом случае есть возможность не требовать положительности обоих подлогарифмических выражений, а достаточно потребовать положительности только меньшего из.

Решение логарифмических неравенств с переменным основанием

При решении логарифмических неравенств с переменной в основании логарифма необходимо самостоятельно рассматривать оба варианта когда основание меньше единицы, и больше единицы и объединять решения этих случаев в совокупность.

При этом нужно не забывать и про ОДЗ, то есть про то, что и основание и все подлогарифмические выражение должны быть положительными. Таким образом, при решении неравенства вида: Получим следующую совокупность систем: Некоторые другие логарифмические неравенства как и логарифмические уравнения для решения требуют проведения процедуры логарифмирования обоих частей неравенства или уравнения по одинаковому основанию.

  • Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов: примеры, решения
  • Логарифмы. Начальный уровень.
  • Тема урока: «Решение логарифмических уравнений — поиск ошибок»

Так вот при проведении такой процедуры с логарифмическим неравенствами имеется тонкость. Обратите внимание, что при логарифмировании по основанию большему единицы, знак неравенства не изменяется, а если основание меньше единицы, то знак неравенства изменяется на противоположный.